Einstieg
Vokabeln
Exponentialfunktion
f(x) = a∙bx
Ableitung: f'(x) = a∙bx∙f'(0)
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion.
f(x) = a∙bx
Ableitung: f'(x) = a∙bx∙f'(0)
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion.
Die Exponentialfunktion f(x) = ex mit e = 2,71... ist gleichzeitig ihre eigene Ableitung und ihre eigene Stammfunktion. e nennt man auch die „Eulersche Zahl“.
Aufgaben: S. 97 / 3 bis 4
Ist f(x) = u(v(x)) eine verkettete Funktion mit äußerer Funktion u(x) und innerer Funktion v(x), so lautet die Ableitung f'(x) = v'(x)∙u'(v(x)).
Man sagt: "Innere Ableitung mal äußere Ableitung."
Beispiel:
f(x) = 3∙e5x + 2
Äußere Funktion: u(x) = 3∙ex
Innere Funktion: v(x) = 5x + 2
Äußere Ableitung: u'(x) = 3∙ex
Innere Ableitung: v'(x) = 5
Also: f'(x) = 5∙3∙e5x + 2 Bzw. f'(x) = 15∙e5x + 2
Bei e-Funktionen sieht dies im Allgemeinen also so aus:
f(x) = eax + b
f'(x) = a∙eax + b
Aufgaben: S. 98 / 5 und 6
Allgemeines Beispiel:
Für welches x gilt 2x = 32?
2x = 32
(anwenden von log2)
log2(2x) = log2(32)
(log2 und "2 hoch" heben sich auf)
x = log2(32)
(berechnen mit GTR)
x = 5
Also: 25 = 32
Bei e als Basis verwendet man den natürlichen Logarithmus ln, um die Basis aufzuheben.
Der GTR besitzt dafür die Taste [LN].
Beispiel mit e:
Für welches x gilt ex = 15200?
ex = 15200
(anwenden von ln)
ln(ex) = ln(15200)
(ln und "e hoch" heben sich auf)
x = ln(15200)
(berechnen mit GTR)
x = 9,63
Also: e9,63 = 15200
Aufgaben:
S. 102 / 1 und 2
S. 104 / 8, 9 und 13
S. 105 / 14 und 19
S. 106 / 24
Folgende Gleichung beschreibt ein exponentielles Wachstum mit der Basis e:
Veranschaulichung von a und k:
Aufgaben: S. 109 / 1 bis 4
Begrenztes Wachstum entspricht einer exponentiellen Abnahme (negatives k), die um eine Sättigungsgrenze S erhöht wird. Damit geht es nicht gegen Null, sondern nähert sich dieser Grenze an, weil die Differenz immer kleiner wird.
Aufgaben: S. 116 / 1 bis 3
Was ist "e" und was ist das besondere daran? Beschreibe.
Bilde die Ableitungen:
a) f(x) = ex
b) f(x) = 4∙ex
c) f(t) = 37et - 12et
d) f(x) = 4∙e2x (Kettenregel!)
e) f(x) = -50∙e3x + 20∙e4x
f) f(x) = 12∙e4x + 2
Gegeben seien f(x) = ex und g(x) = -3∙e2x
a) Skizziere die Graphen von f(x) und g(x). Nimm dabei den GTR zur Hilfe.
b) Beschreibe, wie der Graph von g(x) aus f(x) entsteht.
c) Berechne den Wert von g(0).
d) Gib die Ableitungen und Stammfunktionen von f(x) und g(x) an.
e) Gib den Werte- und den Definitionsbereich von g(x) an.
f) Nenne das Verhalten des Graphen von g(x) für x gegen -∞ und gegen +∞.
g) Gib das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von g(x) an.
h) Begründe deine Lösungen aus f) mit der Ableitung g'(x).
Die Größe der von einer bestimmten Schimmelpilz-Kultur bedeckten Fläche in cm2 kann durch den Funktionsterm f(t) = 3∙et beschrieben werden, wobei t für die Zeit in Stunden steht.
Ermittle die momentante Wachstumsgeschwindigkeit zu den Zeitpunkten t = 1 und t = 4 Stunden. (Veränderung der Fläche = Ableitung!)
1) "e" ist die Zahl 2,71...
Das besondere daran ist, dass sich die Exponentialfunktion mit e als Basis (also f(x) = ex) sowohl beim Ableiten als auch beim Aufleiten nicht verändert. Es gilt f'(x) = ex und F(x) = ex
2.a) f'(x) = ex
2.b) f'(x) = 4∙ex
2.c) f'(x) = 37et - 12et
2.d) f'(x) = 4∙2e2x = 8∙e2x
2.e) f'(x) = -150∙e3x + 80∙e4x
2.f) f'(x) = 48∙e4x + 2
3.a) 
3.b) Der Graph von g(x) ist an der x-Achse gespiegelt und um den Faktor 3e2 gestreckt.
3.c) g(0) = -3∙e2∙0 = -3∙e0 = -3∙1 = -3
3.d) f'(x) = ex
g'(x) = -3∙2e2x = -6∙e2x
F(x) = ex
G(x) = -3∙\(\frac{\text{1}}{\text{2}}\)e2x = \(\frac{\text{-3}}{\text{2}}\)e2x
3.e) W = ℝ- ("y kann alle negativen Zahlen annehmen")
D = ℝ ("x kann alle Zahlen annehmen")
3.f) x -> -∞ = 0
x -> +∞ = -∞
3.g) Der Graph von g(x) ist streng monoton fallend und besitzt eine Rechtskrümmung.
3.h) Die Ableitung ist stets kleiner als Null.
4) f'(t) = 3∙et
f'(1) = 3∙e1 = 8,15
f'(4) = 3∙e4 = 163,79