Eine Menge von Zahlen x wird genau einer Menge an Zahlen y bzw. f(x) zugeordnet. Mit der Funktionsgleichung ist festgelegt, welcher Zahl jeweils zugeordnet wird.
Was ist eine Ableitung?
Die Ableitung einer Funktion gibt für jede Stelle x die Steigung des Graphen an der Stelle an.
Vokabeln einer Gleichung
Parameter
Ein Parameter ist ein variabler Faktor. D.h. er kann verschiedene Zahlenwerte annehmen.
Punkt vs. Stelle
Ein Punkt hat immer x- und y-Koordinaten: P(x|y).
Eine Stelle nur x: Z.B. Nullstelle bei x = 3.
Eigenschaften eines Graphen
Besondere Punkte und Stellen
Monotonie
In welchen Abschnitten steigt oder fällt der Graph?
Zu erkennen an der ersten Ableitung.
(Abschnitte immer von Extremstelle zu Extremstelle.)
Krümmung
In welchen Abschnitten ist er rechts- und in welchen linksgekrümmt?
Zu erkennen an der zweiten Ableitung.
(Vorstellung: Mit dem Auto in positiver x-Richtung fahren: Kurven rechts oder links?)
Aufgabe
f(x) = -0,5x2 + 2x + 4
a) Skizziere den Graphen.
b) Markiere und beschrifte markante Punkte. (HP, TP, WP, NS, y-A.)
c) Bestimme die Punkte mit dem GTR.
d) Prüfe mit dem GTR, ob der Punkt (1|5) auf dem Graphen liegt.
e) Markiere und beschrifte Monotonie und Krümmungen.
Lösung
Nullstellen und y-Achsenabschnitt
Nullstelle berechnen
("Berechne" = per Hand)
Berechne die Nullstellen von f(x) = x² – 9.
Ansatz: f(x) = 0
x² – 9 = 0 |+9
x² = 9 |Wurzel
x = 3 oder x = -3
Funktion mit Parameter: f(x) = ax² + 4x - 2,5
Für welchen Wert von a hat die Funktion eine Nullstelle bei x = 9?
Potenzregel: \(f(x) = x^5\) f‘(x) = 5∙x4
f(x) = xa f‘(x) = a∙xa – 1
„Exponenten kommen als Faktor davor und werden oben um 1 verringert.“
Berechne den Tiefpunkt von f(x) = 2x^3 + 2x – 4.
Ansatz: f'(x) = 0
Ableitung bilden: f'(x) =
LGS lösen
Vorgehen beim Lösen
Beispiel: Wurfparabel ermitteln
Messung des Wurfes
Der Abwurfpunkt ist 0,7 m hinterm Ursprung (Füße) und in einer Höhe von 1,2 m: A(0,7|1,2)
Der höchste Punkte wird nach 2,0 m erreicht und hat eine Höhe von 2,5 m: H(2,0|2,5)
Funktionsgleichung für den Wurf aufstellen
Grad einer Wurfparabel: 2.
Allgemeine Funktion 2. Grades: f(x) = ax² + bx + c
Ihre Ableitung: f'(x) = 2ax + b
Bedingungen an die Funktion:
f(0,7) = 1,2 (Abwurfpunkt)
f(2,0) = 2,5 (Hochpunkt)
f'(2,0) = 0 (Hochpunkt)
Gleichungssystem durch Einsetzen der Bedingungen:
a∙0,49 + b∙0,7 + c = 1,2
a∙4,0 + b∙2,0 + c = 2,5
2a∙2,0 + b = 0
GTR:rref -> a = -0,77; b = 3,08; c = -0,58
Einsetzen der Werte für die Parameter:
Die Wurfparabel hat die Funktionsgleichung
f(x) = -0,77x² + 3,08x - 0,58
Allgemeine Funktionsgleichungen
Eigenschaften und ihre Bedingungen
Eigenschaft
Bedingung(en)
hat an der Stelle x = 3 den Wert -1
f(3) = -1
verläuft durch den Punkt P(1|2)
f(1) = 2
verläuft durch den Ursprung
f(0) = 0
Nullstelle bei x = 5
f(5) = 0
schneidet die y-Achse bei –2
f(0) = -2
Extremstelle bei x = 4
f'(4) = 0
Extrempunkt (HP/TP) bei A(4|7)
f(4) = 7; f'(4) = 0
Wendepunkt an der Stelle x = 2
f''(2) = 0
Wendepunkt bei W(2|4)
f(2) = 4; f''(2) = 0
die Steigung an der Stelle x = 8 beträgt 5
f'(8) = 5
hat in (5|1) eine waagerechte Tangente
f(5) = 1; f'(5) = 0
hat bei x = 0 einen Winkel von 45°
f'(0) = 1
Symmetrien
Bei symmetrischen Graphen fallen einige Parameter weg. So kann eine punktsymmetrische Funktion keine geraden Exponenten haben und eine achsensymmetrische keine ungeraden. Die dazugehörigen Parameter müssen also nicht bestimmt werden.
Allgemeines Vorgehen
(0. Schritt:)
Wie viele Bedingungen sind nötig? (Grad der Funktion + 1)
1. Schritt:
Bedingungen (f(x) = y) anhand von Eigenschaften notieren.
2. Schritt:
Gleichungen aus den Bedingungen aufstellen. Dafür in die allgemeinen Funktionsgleichungen einsetzen.
3. Schritt:
Das LGS mit dem GTR (rref) lösen, um die Parameter zu erhalten.
4. Schritt:
Funktion mit den Parameter-Werten notieren.
Beispiel
Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat einen Tiefpunkt bei T(3|3) und einen Wendepunkt bei W(1|1). Ermittle die dazugehörige Funktionsgleichung.
(0. Schritt: Anzahl Bedingungen)
Es werden 4 Bedingungen benötigt.
Zwei Landstraßen sollen neu miteinander verbunden werden. Die westliche Straße entspricht der Funktion f(x) = –x2 + 4 und die östliche entspricht g(x) = 1.
a) Bestimme eine Funktion h(x) dritten Grades, die beide Straßen möglichst sinnvoll miteinander verbindet.
b) Stell dir vor, du fährst diese Straße entlang… welches Problem könnte an den Übergangsstellen der Straßen entstehen?
Lösung
a) Bedingungen: h(1)=3, h'(1)=-2, h(3)=1, h'(3)=0
Allgemeine Gleichung ... Gleichungssystem ... Matrix im GTR mit rref ... Lösungen: a=0, b=0,5, c=-3, d=5,5 h(x) = 0,5x2 - 3x + 5,5
b) An der ersten Übergangsstelle ändert es sich schnell von einer Rechts- in eine Linkskurve. Man müsste dann das Lenkrad ruckartig zur anderen Seite drehen. Diesen Ruck kann man entfernen, indem dort auch die zweiten Ableitungen übereinstimmen. Diese beschreiben schließlich, wie sich die ersten Ableitungen verändern. Wenn sie dort gleich sind, spricht man von "ruckfrei".
Mit zusätzlich h''(1)=-2 und h''(3)=0 folgt: h(x) = 0,125x5 - 1,5x4 + 6,75x3 - 13,5x2 + 10,125x + 1
sprungfrei f(x)=g(x)
knickfrei f(x)=g(x) f'(x)=g'(x)
ruckfrei f(x)=g(x) f'(x)=g'(x) f''(x)=g''(x)
Die Graphen treffen sich nicht.
Die Graphen treffen sich.
Die Graphen treffen sich ohne Knick.
Die Graphen treffen sich ohne Knick und mit einem sanften Ãœbergang.
Klausurthemen
Vokabeln
Vokabeln kennen und Frage ausführlich beantworten können: Was ist ein Parameter?
Funktionen mit Parameter
Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Extrema (Hoch-/Tief-), Wendepunkte, Steigung (Ableitung)
→ Sowohl berechnen als auch daraus Parameter-Wert bestimmen (Parametervariation)
Monotonie und Krümmung erkennen
Graphen skizzieren und davon ablesen
Gleichungssysteme
Mit bekanntem Vorgehen und dem GTR lösen
Sonderfälle „keine Lösung“ und „unendlich Lösungen“ erkennen
Ãœbungsaufgaben
Aufgabe 1: Parameter
Beschreibe, was ein Parameter ist und gib ein Beispiel an.
Aufgabe 2: Funktion mit Parameter
Die Funktion f(x) = x3 - 2ax2 + a2x soll den Punkt P(2|2) enhalten. Bestimme den Wert des Parameters a dafür.
Aufgabe 3: Gleichungssysteme
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem GTR und notiere die Lösungen.
Aufgabe 4: Besondere Lösungen
Notiere beispielhaft, was der GTR beim Lösen eines Systems von drei Gleichungen mit unendlich vielen Lösungen anzeigen könnte.
Aufgabe 5: Allgemeine Funktionen
Notiere die allgemeinen Funktionsterme einer ganzrationalen Funktion dritten Grades und ihrer ersten und zweiten Ableitung.
Aufgabe 6: Eigenschaften und Bedingungen
Eine Funktion dritten Grades soll bestimmte Eigenschaften haben. Stelle jeweils zu den genannten Eigenschaften die Bedingungen auf und notiere die dazugehörige Gleichung.
verläuft durch den Punkt P(3|6)
schneidet die y-Achse bei –2
hat eine Wendestelle bei x = –2
steigt bei x = 1 um 5 an
Aufgabe 7: Mehrere Bedingungen
Notiere alle Bedingungen, die sich aus den folgenden Eigenschaften entnehmen lassen:
„Der Graph der Funktion hat im Punkt (2|–1) einen Wendepunkt und im Ursprung eine waagerechte Tangente.“
Aufgabe 8: Graph zu Funktion
Bestimme die Gleichung der Funktion vierten Grades mit folgendem Graphen:
Aufgabe 9: Textaufgabe
Das Höhenprofil einer 6 km langen Wanderstrecke lässt sich durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschreiben (Einheiten: x-Achse 1km, y-Achse 100m). Nach 2 km geht es auf einer Strecke von 2km nur noch bergab und ausgehend von einer Höhe von 222m wird dabei ein Höhenunterschied von 44m überwunden. Anschließend führt die Tour wieder bergauf.
Skizziere die Wanderstrecke als Graph und stelle die Gleichung der Funktion auf. Ermittle dann den Punkt, an dem das Gefälle am größten ist.
