Wer mit GeoGebra schon gut umgehen kann, arbeitet die Aufgaben schnell ab. Wer noch ungeübt ist, kann jeweils Hilfestellungen anzeigen lassen, wenn ein kleines Dreieck ► links steht. Dafür auf den Text tippen.
Befehle, die bereits einmal ausgeführt werden mussten, werden danach meistens nicht noch einmal beschrieben.
Die GeoGebra-Befehle sind jeweils orange hervorgehoben.
Wenn man ein Werkzeug bei GeoGebra auswählt, wird unten links immer kurz eine Beschreibung angezeigt, wie es zu verwenden ist. Achte dort bei den folgenden Aufgaben einmal drauf!
Es wird häufig links zwischen den Ansichten [Algebra] und [Werkzeuge] gewechselt. Diese Wechsel sind jeweils nicht beschrieben.
App starten und einstellen
- Die App starten.
- Das iPad am besten quer legen/stellen.
- Auf den Grafikechner stellen.
Anfangs den Grafikrechner für Geometrie verwenden:
Hamburger-Menü ☰ öffnen
-> [Rechner wechseln]
-> [Grafikrechner]
- Nur zwei Nachkommastellen gerundet anzeigen lassen.
Einstellungsrädchen ⚙ oben rechts
-> dort auf
Allgemein tippen
-> [Runden] auf "2 Dezimalstellen" einstellen
-> irgendwo ins Feld tippen, um zurück zu kommen
- Achsen und Gitter ausblenden, da diese in Geometrie stören.
Einstellungsrädchen ⚙ oben rechts
-> "Achsen anzeigen" ausstellen
-> "Koordinatengitter anzeigen" ausstellen
-> irgendwo ins Feld tippen, um zurück zu kommen
- Alle Werkzeuge sichtbar machen.
Links auf [Werkzeuge]
-> ganz runter scrollen
-> [MEHR].
(Damit wird es unübersichtlich, aber es steht alles zur Verfügung)
Kongruenzsätze
Das Ziel
Es sollen alle Kongruenzsätze (und zusätzlich WWW) in GeoGebra konstruiert und daran begründet werden. Dazu werden veränderbare Dreiecke erstellt sowie Seitenlängen, Winkelgrößen und Flächeninhalte angezeigt.
Zur Erinnerung:
- Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie deckungsgleich sind. Dafür müssen sie in ihren Winkelgrößen und Seitenlängen übereinstimmen.
- Die vier Kongruenzsätze vereinfachen dies. Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in drei Größen übereinstimmen: SSS, SWS, WSW und SsW
Kongruenzsatz SSS
Ziel: Konstruiere ein Dreieck mit c = 10cm, a = 6cm und b = 8cm.
- Zeichne eine Stecke c mit festgelegter Länge: 10cm
[Strecke mit fester Länge]
-> Für den Anfangspunkt der Strecke irgendwo in die Arbeitsfläche tippen
-> Länge eingeben: 10
[OK]
Für die anderen Linien des Dreiecks sind uns die Winkel nicht bekannt, in denen sie zur gezeichneten Linie stehen. Wir kennen aber ihre Längen. Mit Kreisen, bei denen wir die Radien entsprechend der Längen einstellen, wissen wir wo die Linien jeweils enden könnten.
- Zeichne einen Kreis mit Radius 6cm um den rechten Punkt.
[Kreis mit MP und Radius]
-> Tippe auf den rechten Punkt als Mittelpunkt
-> Radius eingeben: 6
[OK]
- Zeichne einen Kreis mit Radius 8cm um den linken Punkt.
- Markiere den oberen Schnittpunkt der beiden Kreise als einen neuen Punkt für GeoGebra.
[Punkt]
-> Möglichst genau auf den Schnittpunkt der Kreise tippen. GeoGebra versteht dann, dass der exakte Schnittpunkt gemeint ist.
Bei diesem oberen Punkt müssen die beiden fehlenden Linien enden. Sie besitzen dann jeweils genau ihre vorgegebene Länge. Es hätte übrigens auch der untere Schnittpunkt genutzt werden können.
- Zeichne jeweils eine Strecke von dem linken und von dem rechten Punkt zu diesem Schnittpunkt.
[Strecke]
-> Linken Punkt antippen
-> Schnittpunkt antippen
Für den rechten wiederholen.
Das Dreieck ist nun konstruiert. Wir räumen die Arbeitsfläche aber noch etwas auf, damit es übersichtlicher ist. Dafür sollen unnötige Kreise, Linien oder Punkte verschwinden.
- Blende die beiden Kreise aus.
[Objekt anzeigen]
-> Auf die Kreise tippen, damit sie ausgegraut sind.
Anschließend auf [Bewege] tippen, damit die Ansicht wieder normal wird.
Nun fehlt nur noch, dass uns alle Seitenlängen, Winkel und der Flächeninhalt angezeigt wird. Damit können wir dann zueinander kongruente Dreiecke erkennen.
- Lass dir alle Seitenlängen anzeigen.
[Abstand oder Länge]
-> Auf die Linien tippen.
- Lass dir alle Winkel anzeigen.
[Winkel]
(Achte hier einmal auf die Beschreibung unten links!)
Der mathematische Drehsinn ist gegen den Uhrzeigersinn. Wenn du den Winkel zwischen zwei Linien anzeigen lassen möchtest, und dafür die Linien antippst, muss dies gegen den Uhrzeigersinn geschehen.
-> Tippe jeweils nacheinander zwei Linien an, um den Winkel zwischen ihnen anzuzeigen.
- Mache aus den Linien ein Dreieck mit Fläche.
[Vieleck]
-> Tippe nacheinander auf die Punkte des Dreiecks, bis die entstehende Fläche geschlossen ist.
- Blende in der [Algebra]-Ansicht die neu entstandenen Linien aus, damit nicht alles doppelt angezeigt wird.
Oben rechts [Algebra]
-> runter scrollen
-> jeweils auf den linken Punkt bei den Elementen tippen, die nicht mehr angezeigt werden sollen. Das sind die Strecken, die neu erstellt wurden.
- Lass dir den Flächeninhalt anzeigen.
Oben rechts zur [Werkzeuge]-Ansicht
[Fläche]
-> Tippe die entstandene Fläche an.
- Ändere die Farbe der Fläche, damit du die Dreiecke später gut unterscheiden kannst.
Wähle die Fläche durch antippen aus. (Evtl. vorher wieder auf [Bewege]] tippen, um das vorherige Werkzeug abzuwählen.
-> Den Farbeimer antippen.
-> Wähle eine Farbe aus.
- Bewege die wählbaren Punkte jeweils etwas hin und her, um zu sehen, dass sich das Dreieck in seinen Größen nicht verändert.
Kongruenzsatz SWS
Verschiebe die Ansicht mit [Bewege] etwas, damit das alte Dreieck zwar noch vorhanden ist, aber nicht mehr sichtbar. So kannst du besser ein neues Dreieck konstruieren.
(Hier wäre es vielleicht angebracht zu speichern und eine neue, leere Arbeitsfläche zu öffnen. Wenn man alles da lässt, wird die Algebra-Ansicht nämlich sehr voll. Durch späteres Herauszoomen kann man jedoch so alle Dreiecke gleichzeitig sehen und vergleichen.)
Ziel: Konstruiere ein Dreieck mit a = 6cm, γ = 90° und b = 8cm.
- Zeichne eine Stecke a mit festgelegter Länge: 6cm
- Erstelle am rechten Punkt der Strecke einen 90°-Winkel.
[Winkel mit fester Größe]
-> Erst den linken Punkt antippen, zu dem der Winkel liegen soll.
-> Dann den rechten Punkt antippen, an dem der Winkel liegen soll.
90 eingeben (Richtung kann frei gewählt werden)
[OK]
- Konstruiere die Seite b mit einer Länge von 8cm. (Mehrere Schritte!)
Ziehe einen [Strahl] vom rechten Punkt durch den Punkt, der mit dem Winkel entstanden ist.
Erstelle einen [Kreis mit MP und Radius], der den rechten Punkt als Mittelpunkt hat und einen Radius von 8 besitzt.
Erstelle einen neuen [Punkt] im Schnittpunkt des Kreises mit dem vorher erstellten Strahl.
Zeichne eine [Strecke] zwischen dem rechten Punkt der Dreieckslinie und diesem Schnittpunkt.
Blende den Kreis und den Strahl sowie die Punkte, die nur für die Winkelgrößen erstellt wurden, mit [Objekt anzeigen] und antippen aus, damit sie nicht stören. Achtung: Nicht die neue Strecke ausblenden, sondern den Strahl!
- Verbinde die beiden Eckpunkte mit einer [Strecke], um das Dreieck abzuschließen.
- Mache aus den Linien ein Dreieck mit Fläche und färbe es anders. (Tipp: [Vieleck])
- Lass dir alle Seitenlängen, Winkelgrößen und den Flächeninhalt anzeigen.
[Abstand oder Länge], [Winkel] und [Fläche]
- Bewege die wählbaren Punkte jeweils etwas hin und her, um zu sehen, dass sich das Dreieck in seinen Größen nicht verändert.
-
Kongruenzsatz WSW
Verschiebe die Ansicht mit [Bewege] etwas, damit die alten Dreiecke zwar noch vorhanden sind, aber nicht mehr sichtbar. So kannst du besser ein neues Dreieck konstruieren.
Ziel: Konstruiere ein Dreieck mit α = 36,87°, b = 8cm und γ = 90°.
- Zeichne eine [Strecke] b mit festgelegter Länge: 8cm
- Erstelle am linken Punkt der Strecke einen [Winkel mit fester Größe] von 90°.
- Erstelle am rechten Punkt der Strecke einen 36,87°-Winkel. (Achte auf einen passenden Drehsinn!)
- Zeichne jeweils einen [Strahl] vom Punkt der Strecke durch den dazugehörigen Punkt des Winkels.
- Erstelle einen neuen [Punkt] im Schnittpunkt.
- Blende die Strahlen aus und zeichne stattdessen [Strecken], die zum Schnittpunkt führen und somit das Dreieck abschließen. Blende ebenso die Punkte aus, die nur für die Winkelgrößen erstellt wurden,
- Mache aus den Linien ein Dreieck mit Fläche und färbe es anders.
- Lass dir alle Seitenlängen, Winkelgrößen und den Flächeninhalt anzeigen.
- Bewege die wählbaren Punkte jeweils etwas hin und her, um zu sehen, dass sich das Dreieck in seinen Größen nicht verändert.
Kongruenzsatz SsW
Verschiebe die Ansicht mit [Bewege] etwas, damit die alten Dreiecke zwar noch vorhanden sind, aber nicht mehr sichtbar. So kannst du besser ein neues Dreieck konstruieren.
Ziel: Konstruiere ein Dreieck mit einer langen Seite c = 10 cm, einer kurzen Seite a = 6cm und dem der langen Seite gegenüberliegneden Winkel γ = 90°.
Die Konstruktion zu diesem Kongruenzsatz ist besonders schwierig und es gibt mehrere Möglichkeiten. Versuche es ohne Anleitung hinzubekommen!
(Du kannst die Anleitung hier aber auch einblenden lassen.)
Anleitung
Bei diesem Kongruenzsatz ist es am besten, wenn man mit der kurzen Seite beginnt. Daran kann man dann die lange Seite anschließen und den gegenüber den Winkel festlegen.
- Zeichne eine Strecke a mit festgelegter Länge: 6cm
- Erstelle einen [Kreis mit MP und Radius] um den linken Punkt der Strecke, der den Radius 10cm für die Seite c besitzt.
- Erstelle am rechten Punkt der Strecke einen [Winkel mit fester Größe] von γ = 90°.
- Ziehe einen [Strahl] vom Punkt der Strecke durch den neuen Punkt für den Winkel.
- Erstelle einen [Punkt] im Schnittpunkt des Strahls mit dem Kreis.
- Zeichne [Strecken] von den alten Punkten der ersten Strecke zu diesem Schnittpunkt und schließe damit das Dreieck ab.
- Blende den Kreis und den Strahl sowie die Punkte, die für die Winkel erstellt wurden, aus.
- Mache aus den Linien ein Dreieck mit Fläche und färbe es anders.
- Lass dir alle Seitenlängen, Winkelgrößen und den Flächeninhalt anzeigen.
- Bewege die wählbaren Punkte jeweils etwas hin und her, um zu sehen, dass sich das Dreieck in seinen Größen nicht verändert.
Vergleich der Dreiecke
Zoome aus der Arbeitsfläche heraus und verschiebe die Dreiecke alle so, dass sie gleichzeitig gut sichtbar sind. Woran kann man erkennen, dass die erstellten Dreiecke kongruent zueinander sind? Was bedeuten dann die Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SsW?
Mögliche Ergänzungen:
Zeige mit GeoGebra, dass ein Dreieck, bei dem nur die drei Winkel (WWW) vorgegeben sind, nicht kongruent zu den anderen sein muss.
Zeige mit GeoGebra, dass beim Kongruenzsatz SsW zwingend der Winkel gegenüber der langen Seite liegen muss und sSW nicht zwingend funktioniert.
